Variáveis aleatórias e distribuições — revisão rápida
Mapa central
resultado → variável → distribuição → momentos → modelo especial → condicionamento → transformação
Discreta × contínua
- discreta: valores finitos/enumeráveis; usa massas (p_X(x)=P(X=x));
- contínua: probabilidades são áreas sob densidade; (P(X=x_0)=0) em ponto isolado.
Funções da distribuição
Discreta:
[ p_X(x)\ge0,\qquad \sum_xp_X(x)=1. ]
Contínua:
[ f_X(x)\ge0,\qquad \int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)dx=1. ]
[ P(a\le X\le b)=\int_a^b f_X(x)dx. ]
Acumulada:
[ F_X(x)=P(X\le x). ]
- discreta: soma massas até (x);
- contínua: integra densidade até (x).
Esperança e momentos
Discreta:
[ E(X)=\sum_xx p_X(x). ]
Contínua:
[ E(X)=\int xf_X(x)dx. ]
Momento bruto de ordem (k):
[ E(X^k). ]
Variância:
[ \operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2. ]
Se (Y=a+bX):
[ E(Y)=a+bE(X),\qquad \operatorname{Var}(Y)=b^2\operatorname{Var}(X). ]
Distribuições especiais
| Modelo | Mecanismo | Média | Variância |
|---|---|---|---|
| Bernoulli ((p)) | uma tentativa 0/1 | (p) | (p(1-p)) |
| Binomial ((n,p)) | sucessos em (n) tentativas independentes | (np) | (np(1-p)) |
| Poisson ((\lambda)) | contagem de eventos | (\lambda) | (\lambda) |
| Uniforme ((a,b)) | densidade constante no intervalo | ((a+b)/2) | ((b-a)^2/12) |
| Exponencial por taxa ((\lambda)) | tempo de espera/taxa constante | (1/\lambda) | (1/\lambda^2) |
| Normal ((\mu,\sigma^2)) | distribuição simétrica contínua | (\mu) | (\sigma^2) |
Poisson independentes somam parâmetros:
[ X\sim P(\lambda_1),\ Y\sim P(\lambda_2) \Rightarrow X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2). ]
Desvio padrão da Poisson:
[ \sqrt{\lambda}. ]
Normal padronizada:
[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma}. ]
Conjunta, marginal e condicional
Discreta:
[ p_X(x)=\sum_y p_{X,Y}(x,y). ]
[ p_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_X(x)}. ]
Contínua: troque somas por integrais e massas por densidades.
Independência
Discreta:
[ p_{X,Y}(x,y)=p_X(x)p_Y(y). ]
Contínua:
[ f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y). ]
Independência não exige marginais iguais.
Transformação
Se (Y=g(X)):
- discreta: some as massas de todos os (x) que geram o mesmo (y);
- contínua: método da acumulada é geral;
- transformação um a um com inversa (x=v(y)):
[ f_Y(y)=f_X(v(y))|v’(y)|. ]
Pegadinhas
- densidade = probabilidade pontual → não;
- densidade não pode superar 1 → não;
- esperança deve ser valor possível → não;
- Poisson: desvio padrão = (\lambda) → não; é (\sqrt\lambda);
- soma de Poisson dispensa independência → não;
- independência exige mesma distribuição → não;
- transformar variável = apenas substituir na densidade → não.
Recuperação em uma frase
A distribuição descreve a lei da variável; esperança e momentos resumem essa lei; condicionamento muda a lei diante de informação; transformação produz uma nova lei.