Estatística descritiva e análise exploratória de dados

Um conjunto de dados pode ter milhares de valores. Antes de perguntar por probabilidade, estimar parâmetros ou ajustar modelos, é preciso responder a perguntas mais básicas: o que os dados mostram, onde se concentram, quanto variam e qual é a forma da distribuição?

O mapa desta unidade é:

dados brutos → organização → visualização → posição → dispersão → forma

A estatística descritiva organiza, resume e apresenta os dados. A análise exploratória de dados vai além de produzir um número-resumo: combina tabelas, medidas e, sobretudo, representações gráficas para revelar padrões, assimetrias, valores atípicos e estruturas que poderiam desaparecer em um único resumo numérico.

Probabilidade, inferência, regressão e amostragem pertencem às próximas unidades. Aqui o objetivo é aprender a ler e descrever o que está nos dados.

1. Comece pela variável, não pela fórmula

Antes de escolher gráfico ou medida, identifique que tipo de informação está sendo observada.

• variável qualitativa: registra categorias, como setor, tipo sanguíneo ou resposta “sim/não”;
• variável quantitativa: registra valores numéricos para os quais operações aritméticas fazem sentido;
• quantitativa discreta: normalmente resulta de contagem, como número de ocorrências;
• quantitativa contínua: pode assumir valores em um intervalo, como tempo, massa ou temperatura.

Essa classificação orienta a representação. Um gráfico de barras funciona naturalmente para categorias; um histograma organiza uma variável quantitativa em intervalos.

2. Tabelas de frequência: transformar dados em estrutura

Uma frequência absoluta é a quantidade de observações em uma categoria ou classe. A frequência relativa é essa quantidade dividida pelo total de observações.

Se uma amostra tem 40 registros e 10 pertencem à categoria A:

[ f_A = 10, \qquad f_{rel,A}=\frac{10}{40}=0{,}25=25%. ]

A frequência acumulada soma progressivamente as frequências até determinada categoria ordenável ou limite de classe. Ela é especialmente útil para responder perguntas como “quantos valores estão até este ponto?” ou “qual proporção não ultrapassa este limite?”.

Classes de intervalo

Quando há muitos valores quantitativos, pode ser útil agrupá-los em intervalos. Esse agrupamento facilita a leitura da distribuição, mas perde detalhe: depois de substituir valores individuais por classes, já não se enxerga exatamente cada observação.

Esse é um princípio geral da estatística descritiva:

resumir facilita enxergar a estrutura, mas pode ocultar detalhes.

3. Gráfico de barras × histograma

Esses dois gráficos são visualmente parecidos, mas representam coisas diferentes.

Gráfico de barras

É adequado para categorias ou valores discretos tratados como categorias. Cada barra corresponde a uma categoria, e a separação entre barras reforça que as categorias são entidades distintas.

Histograma

O histograma resume a distribuição de uma variável quantitativa dividindo sua faixa em classes e mostrando quantas observações caem em cada intervalo.

As barras são adjacentes porque os intervalos representam partes contíguas de uma escala numérica. Um histograma pode revelar:

• localização aproximada do centro;
• dispersão;
• assimetria;
• valores atípicos;
• presença de mais de um pico ou modo.

A aparência do histograma depende da escolha das classes. Classes excessivamente largas podem esconder estrutura; classes estreitas demais podem produzir ruído visual.

4. Gráfico de setores e outros diagramas

O gráfico de setores, também chamado gráfico de pizza, representa partes de um total por áreas angulares. Ele funciona melhor quando há poucas categorias e o objetivo é comparar participações relativas claramente distintas.

Não confunda utilidade com obrigatoriedade: uma tabela ou gráfico de barras frequentemente comunica as mesmas proporções com comparação mais direta.

Um diagrama de dispersão representa pares de valores quantitativos e permite observar visualmente associação, agrupamentos e pontos incomuns. Nesta unidade ele é apenas uma ferramenta exploratória; correlação e regressão serão aprofundadas nas unidades próprias.

5. O diagrama de caixa resume posição e dispersão

O diagrama de caixa (box plot) sintetiza a parte central da distribuição por meio de quartis.

Os três marcos principais são:

• primeiro quartil (Q_1): aproximadamente 25% dos dados ficam até esse ponto;
• mediana (Q_2): aproximadamente 50% ficam até esse ponto;
• terceiro quartil (Q_3): aproximadamente 75% ficam até esse ponto.

A caixa vai de (Q_1) a (Q_3), e a linha interna marca a mediana. A diferença

[ Q_3-Q_1 ]

é a amplitude interquartil, medida de dispersão da metade central dos dados.

Uma convenção comum de diagrama de caixa usa limites internos em

[ Q_1-1{,}5(Q_3-Q_1) \quad \text{e} \quad Q_3+1{,}5(Q_3-Q_1) ]

para sinalizar observações potencialmente atípicas. Esses pontos merecem investigação; não devem ser apagados automaticamente.

Os algoritmos exatos de cálculo de quartis podem variar entre livros e programas. Em prova, siga a convenção fornecida ou aquela claramente adotada pelo enunciado.

6. Medidas de posição: onde os dados se concentram?

Média aritmética

Para (n) observações (x_1,\ldots,x_n):

[ \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}. ]

A média usa todos os valores. Por isso, reage fortemente a observações extremas.

Mediana

Ordene os valores.

• se (n) for ímpar, a mediana é o valor central;
• se (n) for par, na convenção usual para dados não agrupados ela é a média dos dois valores centrais.

Como depende principalmente da posição ordenada, a mediana é mais resistente a valores extremos que a média.

Moda

A moda é o valor ou categoria de maior frequência. Um conjunto pode ser:

• unimodal: um modo predominante;
• multimodal: mais de um modo;
• sem moda, quando nenhuma frequência se destaca segundo a definição adotada.

A moda é a única dessas três medidas que também pode ser usada naturalmente em dados puramente categóricos.

7. Um exemplo que mostra por que uma medida não basta

Considere os tempos hipotéticos, em minutos:

[ 4,\ 5,\ 5,\ 6,\ 30. ]

A média é

[ \bar{x}=\frac{4+5+5+6+30}{5}=10. ]

A mediana é 5 e a moda também é 5.

O valor 30 desloca bastante a média, embora quatro das cinco observações estejam entre 4 e 6. Isso não torna a média “errada”; mostra que centro e forma da distribuição precisam ser lidos juntos.

A amplitude é

[ 30-4=26, ]

revelando uma dispersão grande causada principalmente pelo extremo superior.

8. Quartis, percentis e posição relativa

Um percentil de ordem (p) é um ponto da distribuição relacionado à proporção (p%) dos dados abaixo ou até aquele nível, conforme a convenção de cálculo adotada.

Relações úteis:

• (Q_1) corresponde ao 25º percentil;
• (Q_2) corresponde ao 50º percentil e coincide com a mediana;
• (Q_3) corresponde ao 75º percentil.

Questões de prova frequentemente cobram essa interpretação, mais do que um algoritmo específico de interpolação.

9. Medidas de dispersão: quanto os valores se afastam?

Duas distribuições podem ter a mesma média e dispersões completamente diferentes. Por isso, medidas de posição não bastam.

Amplitude total

[ A=x_{\max}-x_{\min}. ]

É simples, mas depende apenas dos dois extremos.

Variância populacional

Para uma população com (N) valores e média (\mu):

[ \sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2. ]

Variância amostral corrigida

Quando uma amostra é usada para estimar a variância populacional, é comum empregar:

[ s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2. ]

Não transforme o denominador em regra cega. Alguns enunciados definem explicitamente outra medida descritiva com divisor (n). Leia a definição fornecida.

Desvio padrão

É a raiz quadrada da variância:

[ s=\sqrt{s^2}. ]

O desvio padrão volta à mesma unidade de medida dos dados; a variância fica em unidades ao quadrado.

Amplitude interquartil

[ Q_3-Q_1. ]

Como utiliza a metade central da distribuição, é menos sensível aos extremos que a amplitude total, a variância e o desvio padrão.

Coeficiente de variação

Uma forma comum de comparar dispersão relativa é

[ \frac{s}{|\bar{x}|}\times 100%. ]

É uma medida adimensional. Seu uso requer cuidado quando a média é zero ou muito próxima de zero e quando a escala não admite interpretação de razão.

10. Como transformações alteram média e dispersão

Se

[ Y=a+bX, ]

então:

[ \bar{Y}=a+b\bar{X}, ]

[ \operatorname{Var}(Y)=b^2\operatorname{Var}(X), ]

[ s_Y=|b|s_X. ]

Consequências de alto rendimento:

• somar uma constante muda a posição, mas não a variância nem o desvio padrão;
• multiplicar todos os valores por (b) multiplica o desvio padrão por (|b|);
• a variância é multiplicada por (b^2).

11. Assimetria: para qual lado a cauda se prolonga?

Uma distribuição é simétrica quando suas partes à esquerda e à direita do centro têm comportamento aproximadamente espelhado.

Na assimetria positiva, a cauda mais longa se estende para a direita. Na assimetria negativa, a cauda mais longa se estende para a esquerda.

Em muitas distribuições unimodais, uma cauda longa à direita tende a puxar a média para valores maiores que a mediana; com cauda à esquerda pode ocorrer o contrário. Isso é uma heurística útil, não um teorema universal para qualquer conjunto de dados.

Um coeficiente de assimetria positivo indica assimetria à direita; negativo, à esquerda. Valor zero do coeficiente não basta, isoladamente, para provar que toda a distribuição é perfeitamente simétrica.

12. Curtose: peso das caudas, não apenas “altura do pico”

A curtose ajuda a caracterizar quão pesadas ou leves são as caudas em comparação com uma distribuição normal de referência.

• valores maiores de curtose estão associados a caudas mais pesadas e maior propensão a observações extremas;
• valores menores indicam caudas mais leves, na comparação adotada.

Há duas convenções numéricas comuns:

1. curtose bruta: a distribuição normal tem valor 3;
2. excesso de curtose: subtrai-se 3, de modo que a normal tem valor 0.

Se uma questão disser apenas “curtose”, verifique qual convenção ela fornece. Uma banca pode usar as mesmas palavras com fórmulas que diferem por 3.

13. Resistência a valores extremos

Algumas medidas mudam muito quando aparece um valor muito distante dos demais.

Isso explica por que uma análise exploratória usa medidas e gráficos em conjunto. Uma média pode esconder um extremo; um histograma ou diagrama de caixa pode fazê-lo saltar aos olhos.

14. Método de prova em seis passos

Diante de tabela, gráfico ou conjunto de dados:

1. identifique o tipo de variável;
2. veja se a representação escolhida faz sentido para esse tipo;
3. localize o centro: média, mediana, moda ou quantis;
4. avalie a dispersão: amplitude, variância, desvio padrão ou amplitude interquartil;
5. examine a forma: simetria, caudas, modos e valores atípicos;
6. confira a convenção da fórmula antes de calcular.

15. Pegadinhas de alto rendimento

“Histograma e gráfico de barras são sinônimos.” Errado. O histograma representa intervalos contíguos de variável quantitativa; barras representam categorias ou valores discretos tratados como categorias.

“A média é sempre a melhor medida de centro.” Errado. A escolha depende da distribuição e do objetivo; extremos podem deslocar fortemente a média.

“O terceiro quartil deixa 25% dos dados abaixo dele.” Errado. Ele se relaciona ao ponto de 75% da distribuição acumulada.

“Desvio padrão tem unidade ao quadrado.” Errado. Quem tem unidade ao quadrado é a variância.

“Somar 10 a todos os dados aumenta a variância.” Errado. A translação altera a posição, não a dispersão.

“Assimetria positiva significa cauda à esquerda.” Errado. A cauda longa fica à direita.

“Curtose mede apenas a altura do pico.” Incompleto e enganoso. A interpretação moderna de prova deve enfatizar o comportamento das caudas.

“Um ponto marcado como atípico deve ser eliminado.” Errado. Ele precisa ser investigado; pode ser erro, evento raro ou observação legítima.

16. Fronteira com as próximas unidades

Aqui você aprendeu a descrever e explorar os dados observados. As unidades seguintes acrescentarão a linguagem probabilística e os mecanismos de inferência, regressão e amostragem.

Retenha o mapa:

tabela organiza; gráfico revela; posição localiza; dispersão mede variação; assimetria indica o lado da cauda; curtose caracteriza o peso das caudas.