Probabilidade — revisão rápida

Mapa central

experimento → espaço amostral → evento → axiomas → condicionamento → independência

• (\Omega): espaço amostral;
• (A\subseteq\Omega): evento;
• (\varnothing): evento impossível;
• (A^c): não (A);
• (A\cap B): (A) e (B);
• (A\cup B): (A) ou (B), normalmente inclusivo.

Axiomas

1. não negatividade: (P(A)\ge0);
2. normalização: (P(\Omega)=1);
3. aditividade: eventos disjuntos somam suas probabilidades.

Consequências:

[ P(\varnothing)=0,\qquad 0\le P(A)\le1, ]

[ P(A^c)=1-P(A), ]

[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). ]

Se (A\subseteq B):

[ P(A)\le P(B). ]

Equiprobabilidade

Em espaço finito com resultados elementares equiprováveis:

[ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}. ]

Sem equiprobabilidade, a simples contagem de casos não basta.

Probabilidade condicional

Se (P(B)>0):

[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}. ]

Ideia: saber (B) restringe o universo de referência a (B).

Regra do produto:

[ P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B). ]

Em geral:

[ P(A\mid B)\ne P(B\mid A). ]

Forma elementar de Bayes:

[ P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}. ]

Independência

[ P(A\cap B)=P(A)P(B). ]

Se (P(B)>0):

[ P(A\mid B)=P(A). ]

Interpretação: saber que (B) ocorreu não altera a chance de (A).

Independentes × mutuamente exclusivos

Se dois eventos mutuamente exclusivos têm probabilidades positivas, eles não são independentes.

Complementos

Se (A) e (B) são independentes, também são independentes:

• (A) e (B^c);
• (A^c) e (B);
• (A^c) e (B^c).

Reposição

• sem reposição: a composição normalmente muda → pode gerar dependência;
• com reposição: em urnas simples, restaura a composição → pode preservar independência.

Teste sempre pela probabilidade, não pela palavra “reposição”.

Pegadinhas

• casos favoráveis / possíveis sem equiprobabilidade → não;
• (A\subseteq B\Rightarrow P(A)>P(B)) → não;
• mutuamente exclusivos = independentes → não;
• (P(A\mid B)=P(B\mid A)) → não em geral;
• independência = interseção zero → não;
• condicionar pela fórmula com (P(B)=0) → não.

Recuperação em uma frase

Condicionar muda o universo; independência é justamente o caso em que essa informação não muda a probabilidade do outro evento.