Inferência estatística — revisão rápida
Mapa
parâmetro → estimador → incerteza → intervalo/teste → conclusão
Parâmetro × estimador × estimativa
- parâmetro: alvo desconhecido;
- estimador: estatística usada para estimá-lo;
- estimativa: valor observado do estimador.
Propriedades
Viés:
[ \operatorname{Bias}(T)=E(T)-\theta. ]
Não viesado:
[ E(T)=\theta. ]
Erro quadrático médio:
[ E[(T-\theta)^2]
\operatorname{Var}(T)+[\operatorname{Bias}(T)]^2. ]
Consistência:
[ T_n\xrightarrow{P}\theta. ]
Não viés (\neq) consistência.
Métodos de estimação
Momentos: igualar momentos amostrais e teóricos.
[ M_k
\frac1n\sum X_i^k \quad\leftrightarrow\quad E(X^k). ]
Máxima verossimilhança:
[ L(\theta)=\prod f(x_i;\theta) ]
e escolher (\hat\theta) que maximiza (L).
Suficiência
Fatoração:
[ f(x_1,\ldots,x_n;\theta)
g(T(x),\theta)h(x), ]
com (h) sem depender de (\theta).
Poisson:
[ T=\sum X_i ]
é suficiente para (\theta).
Intervalo de confiança
Forma típica:
[ \text{estimativa}\pm \text{quantil}\times\text{erro padrão}. ]
Média, (\sigma) conhecido:
[ \bar X \pm z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}. ]
Média normal, (\sigma) desconhecido:
[ \bar X \pm t_{1-\alpha/2,n-1}\frac{S}{\sqrt n}. ]
Interpretação frequentista: cobertura do procedimento, não probabilidade posterior do parâmetro fixo.
Intervalo de credibilidade
[ \pi(\theta\mid x) \propto L(\theta\mid x)\pi(\theta). ]
Um intervalo de 95% contém 95% da probabilidade posterior segundo o critério adotado.
Confiança (\neq) credibilidade.
Testes
- (H_0): referência;
- (H_1): alternativa;
- simples: especifica completamente;
- composta: admite vários valores.
Tipo I:
[ \alpha=P(\text{rejeitar }H_0\mid H_0). ]
Tipo II:
[ \beta=P(\text{não rejeitar }H_0\mid H_1\text{ relevante}). ]
Potência:
[ 1-\beta. ]
Valor-p
- calculado supondo (H_0);
- (p\le\alpha) → rejeitar (H_0);
- (p>\alpha) → não rejeitar;
- não é a probabilidade de (H_0) ser verdadeira.
Teste t de uma média
[ T=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n} \sim t_{n-1} ]
sob (H_0), nas condições clássicas.
Qui-quadrado de independência
Esperada:
[ E_{ij}
\frac{(\text{total linha})(\text{total coluna})} {\text{total geral}}. ]
Estatística:
[ \chi^2
\sum\frac{(O-E)^2}{E}. ]
Graus de liberdade:
[ (r-1)(c-1). ]
Variância normal
[ \chi^2
\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim\chi^2_{n-1}. ]
Pegadinhas
- não viesado = sempre acertar → não;
- consistente = não viesado em qualquer amostra → não;
- momentos = mínimos quadrados → não;
- confiança 95% = 95% de probabilidade posterior → não;
- (\alpha) = erro tipo II → não;
- potência = (\beta) → não; é (1-\beta);
- não rejeitar = aceitar (H_0) → não;
- valor-p = probabilidade de (H_0) → não.