Proposições e tabelas-verdade

Recorte

Aqui: proposições, conectivos, formalização, alcance, 2^n, construção e leitura de tabelas-verdade.

Depois: equivalências, De Morgan e diagramas lógicos.

Proposição

afirmação declarativa com valor V ou F no contexto;
desconhecer o valor ≠ não existir valor lógico;
pergunta, ordem e sentença aberta não são proposições.

Simples × composta

Tipo	Regra
simples/atômica	tratada como unidade
composta/molecular	usa um ou mais conectivos

Não conte verbos ou palavras; siga a estrutura lógica indicada.

Matriz dos conectivos

Operação	Forma	Regra rápida
negação	`¬p`	inverte V/F
conjunção	`p ∧ q`	V só em V/V
disjunção inclusiva	`p ∨ q`	F só em F/F
disjunção exclusiva	`p ⊻ q`	V quando exatamente uma é V
condicional	`p → q`	F só em V/F
bicondicional	`p ↔ q`	V quando os valores são iguais

Linhas críticas

V ∧ V = V; qualquer F derruba a conjunção.
F ∨ F = F; qualquer V garante a disjunção inclusiva.
V → F = F; todas as outras linhas da condicional são V.
V ↔ V = V e F ↔ F = V.
V ⊻ F = V e F ⊻ V = V.

Condicional

Em p → q:

p = antecedente;
q = consequente;
p é suficiente para q;
q é necessária para p.

Tradução

Frase	Forma
se p, então q	`p → q`
p implica q	`p → q`
p é suficiente para q	`p → q`
q é necessário para p	`p → q`
p somente se q	`p → q`
p se q	`q → p`

Somente se aponta para a condição necessária, no lado direito da seta.

Bicondicional × exclusiva

Valores dos lados	`p ↔ q`	`p ⊻ q`
iguais	V	F
diferentes	F	V

Alcance da negação

¬p: nega apenas p.
¬(p ∧ q): nega a composta inteira.
(¬p) ∧ q: nega somente p e depois conjuga com q.

Não aplique De Morgan aqui; apenas respeite o alcance e avalie a fórmula.

Parênteses e conectivo principal

parênteses fixam o agrupamento;
resolva das subfórmulas internas para a externa;
o conectivo executado por último é o principal.

Exemplo: em (p ∨ q) ∧ ¬r, o conectivo principal é ∧.

Número de linhas

linhas = 2^n

n = número de proposições simples distintas.

n	linhas
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32

Repetição de uma letra não aumenta n.

Enumeração para três letras

p	q	r
V	V	V
V	V	F
V	F	V
V	F	F
F	V	V
F	V	F
F	F	V
F	F	F

A ordem pode variar; todas as combinações devem aparecer exatamente uma vez.

Fluxo de resolução

Identifique as letras distintas.
Calcule 2^n.
Enumere V/F.
Localize o conectivo principal.
Crie colunas para subfórmulas.
Resolva de dentro para fora.
Leia a coluna final.

Atalhos seguros

conjunção + uma F → F;
disjunção inclusiva + uma V → V;
condicional + antecedente F → V;
condicional + consequente V → V;
bicondicional → compare igualdade;
exclusiva → compare diferença.

Classificação pela coluna final

Coluna final	Classe
só V	tautologia
só F	contradição
V e F	contingência

Uma linha F elimina tautologia, mas não prova contradição.

Linguagem natural

Se:

p: cadastro completo;
q: comprovante emitido.

Então:

“q se p” → p → q;
“q somente se p” → q → p;
“não é verdade que p e q” → ¬(p ∧ q);
“não p e q” → (¬p) ∧ q.

Pegadinhas

valor desconhecido ≠ não proposição;
pergunta/ordem ≠ proposição falsa;
conte letras distintas, não ocorrências;
“ou” simples é inclusivo;
condicional só é F em V/F;
antecedente F torna a condicional V;
F/F torna a bicondicional V;
valores iguais tornam a exclusiva F;
p somente se q = p → q;
parênteses não são decorativos;
uma linha F ≠ contradição automática.

Checklist final

As frases básicas recebem V/F?
Quantas letras distintas há?
O “ou” é inclusivo ou há exclusividade expressa?
O alcance da negação está correto?
“Se” e “somente se” foram orientados corretamente?
O conectivo principal foi identificado?
Todas as 2^n atribuições foram consideradas?
V/F da condicional foi tratado como F?
A classificação considerou a coluna final inteira?