Princípios de contagem e probabilidade

Matriz de decisão

Pergunta	Se sim
alternativas mutuamente excludentes?	somar
etapas sucessivas?	multiplicar
usa todos os objetos distintos e ordem importa?	permutação
escolhe parte e ordem importa?	arranjo
escolhe parte e ordem não importa?	combinação
há cópias indistinguíveis?	dividir pelos fatoriais das repetições
repetição permitida e ordem não importa?	combinação com repetição
rotações são equivalentes?	permutação circular

n!,\qquad 0!=1

P_n=n!

A_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)!}

C_{n,p}=\binom np=\frac{n!}{p!(n-p)!}

A_{n,p}=C_{n,p}\,p!

Permutação com repetição:

\frac{n!}{a_1!\cdots a_r!}

Circular:

(n-1)!

Combinação com repetição:

\binom{n+p-1}{p}

Contagem:

N(\text{desejado}) =N(\text{total})-N(\text{indesejado})

Dois conjuntos:

|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|

Três:

|A\cup B\cup C| =\sum|A|-\sum|A\cap B|+|A\cap B\cap C|

“Pelo menos um” → pense primeiro em nenhum.

N\text{ objetos em }r\text{ caixas} \Rightarrow \text{alguma caixa tem ao menos } \left\lceil\frac Nr\right\rceil

Em espaço finito equiprovável:

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}

0\le P(A)\le1

P(A^c)=1-P(A)

P(A\cup B) =P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Se mutuamente exclusivos:

P(A\cap B)=0

Condicional:

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}, \qquad P(B)>0

Produto:

P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)

Independência:

P(A\cap B)=P(A)P(B)

Quando definida:

P(A\mid B)=P(A)

Não confunda exclusão mútua com independência. Eventos positivos mutuamente exclusivos são dependentes.

Sem reposição: composição e denominador normalmente mudam.

Com reposição: composição é restaurada.

Exemplo, urna com 3 vermelhas e 2 azuis:

P(VV\text{ sem reposição}) =\frac35\frac24=\frac3{10}

P(VV\text{ com reposição}) =\frac35\frac35=\frac9{25}

Se as $n$ tentativas são independentes e cada uma tem sucesso com probabilidade $p$ :

P(\ge1\text{ sucesso}) =1-(1-p)^n

Se $B_1,\ldots,B_k$ formam partição:

P(A)=\sum_iP(A\mid B_i)P(B_i)

Bayes:

P(B_j\mid A) = \frac{P(A\mid B_j)P(B_j)} {\sum_iP(A\mid B_i)P(B_i)}

Taxa-base importa. Em geral, $P(A\mid B)\ne P(B\mid A)$ .