Princípios de contagem e probabilidade

1. A pergunta que vem antes da fórmula

Quase todo erro deste assunto nasce antes da conta. A questão descreve uma situação — filas, comissões, senhas, urnas, dados — e o primeiro trabalho é decidir o que conta como um resultado diferente.

Compare:

• escolher 3 pessoas para uma comissão sem cargos;
• escolher presidente, vice-presidente e secretário entre as mesmas pessoas.

Nos dois casos há 3 escolhidos, mas trocar duas pessoas de posição só cria novo resultado no segundo. É essa diferença que separa combinação de arranjo.

Use este roteiro antes de procurar uma fórmula:

1. há alternativas ou etapas sucessivas?
2. a ordem altera o resultado?
3. usam-se todos os objetos ou apenas parte deles?
4. repetição é permitida? Há objetos indistinguíveis?
5. existe restrição de posição, adjacência ou composição?
6. em um círculo, rotações representam a mesma disposição?

A ideia central é simples: modele primeiro; conte depois. Probabilidade virá em seguida como uma medida aplicada aos resultados possíveis.

2. Somar ou multiplicar: a base da contagem

2.1. Alternativas: princípio aditivo

Se uma escolha pode ocorrer por caminhos que não se sobrepõem, somam-se as possibilidades.

Exemplo hipotético: há 5 rotas rodoviárias e 3 ferroviárias, e nenhuma rota pertence às duas categorias. Escolher uma rota significa usar uma alternativa ou a outra:

Se houver sobreposição, a soma direta conta duas vezes o que está nas duas categorias. Para dois conjuntos:

2.2. Etapas: princípio multiplicativo

Se o resultado é construído em etapas sucessivas, multiplique o número de opções disponíveis em cada etapa.

Exemplo hipotético: com 4 camisas e 3 calças, cada escolha de camisa pode ser combinada com cada escolha de calça:

Se as opções diminuem porque não há repetição, a multiplicação acompanha essa mudança. Uma sequência de 3 letras distintas escolhidas entre 26 pode ser formada de

maneiras.

Esses dois princípios sustentam as fórmulas seguintes. Quando uma fórmula parecer obscura, volte a contar posição por posição.

3. Ordem, escolha e fatorial

Para $n\ge1$,

O fatorial aparece quando o número de opções cai sucessivamente de $n$ até 1.

3.1. Permutação: usar todos e ordenar

Com $n$ objetos distintos, usando todos e considerando a ordem:

Se 6 pessoas distintas formam uma fila, há

filas.

3.2. Arranjo: escolher parte e ordenar

Escolhendo $p$ objetos entre $n$, com posições distintas:

Primeiro e segundo lugares entre 10 concorrentes:

3.3. Combinação: escolher parte sem ordenar

Se a ordem dos $p$ escolhidos não muda o resultado:

Uma comissão sem cargos de 3 pessoas entre 10 pode ser formada de

maneiras.

A divisão por $p!$ elimina as $p!$ ordens que representam a mesma comissão. Por isso,

Teste de prova: se trocar duas pessoas escolhidas produz um resultado novo, a ordem importa; se nada muda, não importa.

4. Quando os objetos ou as posições não são todos distintos

4.1. Permutação com repetição

Se há $n$ posições e grupos de objetos indistinguíveis com quantidades $a_1,\ldots,a_r$, as trocas entre cópias iguais não criam novas disposições:

Na palavra ARARA, há 5 letras, sendo 3 A e 2 R:

4.2. Combinação com repetição

Agora a repetição é permitida, mas a ordem não interessa. Escolher $p$ unidades entre $n$ tipos produz

Exemplo hipotético: escolher 4 bolas de sorvete entre 6 sabores, podendo repetir sabor:

4.3. Permutação circular

Em uma mesa redonda sem lugar marcado, girar todos os participantes ao mesmo tempo não cria uma disposição nova. Fixe uma pessoa como referência e ordene as demais:

Reflexões continuam distintas, salvo se o enunciado disser que também devem ser identificadas.

5. Restrições: conte a estrutura antes dos detalhes

5.1. Posições fixas

Se um objeto já tem posição determinada, fixe-o e conte apenas o restante. Dez objetos distintos com dois deles presos a posições específicas deixam 8 objetos livres, portanto $8!$ disposições.

5.2. Objetos juntos: forme um bloco

Exemplo hipotético: 5 pessoas distintas, com Ana e Bruno obrigatoriamente juntos.

O par funciona primeiro como uma unidade. Assim há 4 unidades a ordenar e, dentro do bloco, 2 ordens possíveis:

5.3. Objetos separados: lacunas ou complemento

Com 6 pessoas, para Ana e Bruno não ficarem adjacentes, duas estratégias dão o mesmo resultado.

Pelo complemento:

Pelas lacunas, ordene primeiro as outras 4 pessoas. Surgem 5 lacunas; escolha uma para Ana e outra, diferente, para Bruno:

5.4. Primeiro algarismo

Zero pode ser usado em um número, mas não como primeiro algarismo. Para números de quatro algarismos distintos:

O primeiro fator é 9 porque há 9 escolhas não nulas; depois restam 9 algarismos, incluindo o zero se ainda não foi usado.

6. Complemento, inclusão-exclusão e casa dos pombos

6.1. Contar o que não queremos

Quando a condição desejada é ampla, o complemento costuma ser menor e mais fácil:

Em 4 lançamentos de dado, o número de sequências com pelo menos um 6 é

O complemento de “pelo menos um” é nenhum, não “exatamente um”.

6.2. Inclusão-exclusão

Para dois conjuntos:

Para três:

A lógica é corrigir contagens repetidas: somam-se os grupos, subtraem-se as sobreposições de pares e devolve-se a região tripla, que foi retirada em excesso.

Operações com conjuntos são desenvolvidas no assunto 042; aqui, a fórmula entra como ferramenta de contagem e de probabilidade.

6.3. Princípio da casa dos pombos

Ao distribuir $N$ objetos em $r$ caixas, alguma caixa recebe pelo menos

objetos.

Com 13 pessoas distribuídas pelos 12 meses de aniversário, algum mês contém ao menos 2 aniversariantes. Com 31 processos entre 6 equipes, alguma equipe recebe ao menos 6.

A conclusão é de existência mínima garantida: o princípio não identifica a caixa nem afirma que o limite é exato.

7. Da contagem à probabilidade

Contagem pergunta “quantos resultados existem?”. Probabilidade pergunta “qual é o peso do evento entre os resultados possíveis?”.

Um experimento aleatório tem resultados possíveis conhecidos, mas o resultado de uma realização não é determinado antecipadamente. O espaço amostral $\Omega$ reúne os resultados elementares possíveis; um evento é um subconjunto de $\Omega$.

Em dois lançamentos de moeda, distinguindo a ordem:

O evento “exatamente uma cara” é

Se os resultados elementares têm a mesma probabilidade — são equiprováveis — então

Essa razão não vale automaticamente para categorias finais que não sejam equiprováveis. Em dois dados honestos distinguíveis, as 36 duplas ordenadas são equiprováveis; as somas 2,3,\ldots,12 não são.

Propriedades básicas:

8. “Não”, “ou” e eventos incompatíveis

O complemento reúne tudo o que está fora de $A$:

Para a união de dois eventos:

Eventos são mutuamente exclusivos quando não podem ocorrer juntos:

Nesse caso,

Em linguagem de prova, “$A$ ou $B$” normalmente é inclusivo: admite $A$, $B$ ou ambos. Só se elimina a interseção quando o contexto indicar exclusividade.

9. Condicionar é mudar o universo de referência

A informação “sabendo que $B$ ocorreu” elimina resultados fora de $B$. Se $P(B)>0$,

O denominador deixa de ser o espaço original e passa a ser o evento condicionante $B$.

Da definição vem a regra do produto:

Também, se $P(A)>0$,

A interseção é a mesma nas duas expressões, mas os universos condicionantes são diferentes. Portanto, em geral,

10. Independência, exclusão mútua e reposição

Eventos $A$ e $B$ são independentes quando saber que um ocorreu não altera a probabilidade do outro. Algebricamente,

Quando a condicional está definida, isso equivale a

10.1. Exclusão mútua não é independência

Se $A$ e $B$ são mutuamente exclusivos e ambos têm probabilidade positiva,

Logo, são dependentes. Exclusão mútua significa “não ocorrem juntos”; independência significa “a ocorrência de um não muda a chance do outro”.

10.2. Complementos de eventos independentes

Se $A$ e $B$ são independentes, complementar um ou ambos preserva a independência. Por exemplo,

Isso segue de

10.3. Com e sem reposição

Considere uma urna com 3 bolas vermelhas e 2 azuis.

Sem reposição, retirar uma vermelha altera a composição:

Com reposição, a composição é restaurada entre as retiradas:

Não conclua apenas pela palavra “reposição” que quaisquer eventos são independentes; verifique o experimento. Em urnas simples como esta, a reposição mantém as mesmas probabilidades entre etapas.

11. “Pelo menos um” em tentativas repetidas

Em $n$ tentativas independentes, cada uma com probabilidade $p$ de sucesso, “ao menos um sucesso” é o complemento de “nenhum sucesso”:

A fórmula exige independência e a mesma probabilidade de fracasso $1-p$ em cada tentativa. Sem essas condições, calcule o complemento etapa por etapa.

Exemplo: em 3 lançamentos independentes de moeda honesta,

Para exatamente duas caras, o raciocínio é outro: escolha quais 2 das 3 posições terão cara. Há $\binom32=3$ sequências favoráveis entre $2^3=8$ sequências equiprováveis, logo $3/8$.

12. Probabilidade total e Bayes: dividir por origens

Suponha que um resultado possa vir de origens $B_1,\ldots,B_k$ que não se sobrepõem e cobrem todo o espaço amostral. Esses eventos formam uma partição de $\Omega$.

Se $P(B_i)>0$, a probabilidade de $A$ pode ser reconstruída somando os caminhos que levam a $A$:

Esse é o teorema da probabilidade total.

Bayes responde à pergunta inversa: depois de observar $A$, qual origem $B_j$ se torna mais provável?

desde que $P(A)>0$.

A probabilidade inicial $P(B_j)$ — a taxa-base, isto é, a frequência ou chance da origem antes da nova evidência — participa do cálculo. Por isso não se pode trocar automaticamente $P(A\mid B)$ por $P(B\mid A)$.

13. Modelos que reaparecem em prova

13.1. Moedas

Em $n$ lançamentos independentes de moeda honesta, há $2^n$ sequências equiprováveis. Para exatamente $k$ caras, escolha as $k$ posições:

13.2. Dados

Dois dados honestos distinguíveis geram 36 duplas ordenadas equiprováveis. A soma 7 aparece em 6 delas:

Quando o evento é mais fácil pelo contrário, use complemento. O produto de dois dados é par, por exemplo, salvo quando ambos são ímpares:

13.3. Senhas e códigos

Conte posição por posição. Verifique quais caracteres são permitidos, se podem repetir e se a primeira posição tem alguma restrição.

13.4. Urnas e cartas

Antes de calcular, identifique se a ordem das retiradas importa, se há reposição, se o denominador muda e se o enunciado trouxe uma informação condicionante.

14. Como decidir sob pressão de prova

Contagem

1. Defina o que é um resultado diferente.
2. Separe alternativas de etapas sucessivas.
3. Pergunte se a ordem importa.
4. Verifique repetição, objetos indistinguíveis e circularidade.
5. Incorpore posições fixas e restrições de adjacência.
6. Teste bloco, lacunas, complemento ou inclusão-exclusão antes de desenvolver contas longas.

Probabilidade

1. Defina o espaço amostral e o evento.
2. Verifique se os resultados elementares são equiprováveis.
3. Traduza “não”, “ou”, “e” e “sabendo que”.
4. Identifique dependência e reposição.
5. Para “pelo menos um”, tente primeiro o complemento.
6. Se houver informação nova, pergunte se o universo foi condicionado.
7. Ao inverter uma condicional, considere Bayes e a taxa-base.
8. No fim, uma probabilidade deve ficar entre 0 e 1.

As fórmulas são atalhos para esses mecanismos. Se duas fórmulas parecem possíveis, retorne à pergunta inicial: quais resultados são diferentes e como eles são gerados?