Operações com conjuntos

Pertinência, inclusão, união, interseção, diferença, complemento, leis algébricas, cardinalidade, inclusão-exclusão e diagramas de Venn.

Operações com conjuntos

Fluxo

Qual é o universo?
A frase fala de elemento ( $\in$ ) ou subconjunto ( $\subseteq$ )?
Traduza a região.
Se houver números, preencha primeiro a região mais interna.
Corrija dupla contagem com inclusão-exclusão.
Confira se as regiões são possíveis e não negativas.

Notação que não pode confundir

Símbolo	Leitura
$x\in A$	$x$ é elemento de $A$
$x\notin A$	$x$ não pertence a $A$
$A\subseteq B$	todo elemento de $A$ está em $B$
$A\subsetneq B$	inclusão própria
$	A

x\in A \iff \{x\}\subseteq A.

Mas $\{x\}\in A$ é outra afirmação.

Vazio

|\varnothing|=0, \qquad |\{\varnothing\}|=1.

\varnothing\subseteq A

para todo conjunto $A$ .

Subconjunto de todo conjunto ≠ elemento de todo conjunto.

Tradução rápida

Expressão	Região
pelo menos um / $A$ ou $B$	$A\cup B$
ambos / simultaneamente	$A\cap B$
$A$ , mas não $B$	$A\setminus B$
exatamente um	$A\triangle B$
nenhum	$(A\cup B)^c$
não ambos	$(A\cap B)^c$
somente $A$ entre três	$A\setminus(B\cup C)$

“Ou” na união é inclusivo.

Operações

A\cup B=\{x:x\in A\text{ ou }x\in B\}

A\cap B=\{x:x\in A\text{ e }x\in B\}

A\setminus B=A\cap B^c

A^c=U\setminus A

A\triangle B =(A\cup B)\setminus(A\cap B)

diferença: ordem importa;
complemento: universo importa;
diferença simétrica: exatamente um.

Leis de uma linha

A\cup A=A, \qquad A\cap A=A

A\cup\varnothing=A, \qquad A\cap U=A

A\cup U=U, \qquad A\cap\varnothing=\varnothing

Absorção:

A\cup(A\cap B)=A, \qquad A\cap(A\cup B)=A.

Distributividade:

A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C),

A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C).

De Morgan

(A\cup B)^c=A^c\cap B^c

(A\cap B)^c=A^c\cup B^c

Complementou? Troque $\cup$ por $\cap$ e vice-versa.

Dois conjuntos: fórmulas

|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|

Somente $A$ :

|A|-|A\cap B|

Exatamente um:

|A\triangle B| =|A|+|B|-2|A\cap B|

Nenhum:

|U|-|A\cup B|

Limites:

\max(0,|A|+|B|-|U|) \le |A\cap B| \le \min(|A|,|B|).

Três conjuntos

|A\cup B\cup C| =|A|+|B|+|C| -|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C| +|A\cap B\cap C|.

Ordem de preenchimento

tripla;
exatamente dois;
somente um;
fora da união.

Interseção de pares é inclusiva:

|A\cap B\text{ somente}| =|A\cap B|-|A\cap B\cap C|.

Pelo menos dois:

|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C| -2|A\cap B\cap C|.

Pegadinhas

$x\in A$ ≠ $x\subseteq A$ .
$\varnothing\subseteq A$ não implica $\varnothing\in A$ .
$\varnothing\ne\{\varnothing\}$ .
Repetição não aumenta cardinalidade.
Mesma cardinalidade não implica igualdade.
União inclui quem está na interseção.
$A\setminus B\ne B\setminus A$ em geral.
Complemento sem universo está incompleto.
“Nenhum” ≠ “não ambos”.
$A\cap B$ inclui quem também está em $C$ .
Na fórmula de três conjuntos, a região tripla volta com sinal positivo.

Conferência final

Identifiquei o universo?
Traduzi a frase antes de calcular?
Diferenciei elemento de subconjunto?
Comecei pela região mais interna?
Corrigi a dupla contagem?
O total das regiões respeita $|U|$ ?

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