Problemas geométricos

Resolução de problemas geométricos com ângulos, triângulos, semelhança, áreas, círculos, escalas, volumes e unidades.

Problemas geométricos

Fluxo

Qual é a figura/configuração?
O que foi realmente dado?
O que se pede: comprimento, ângulo, área ou volume?
Qual hipótese habilita o teorema?
As unidades são compatíveis?
O resultado faz sentido?

Ângulos

Relação	Regra
complementares	$90^\circ$
suplementares	$180^\circ$
opostos pelo vértice	iguais
ao redor de um ponto	$360^\circ$

Com paralelas + transversal:

correspondentes e alternos: iguais;
colaterais: suplementares.

Triângulos

\alpha+\beta+\gamma=180^\circ

Ângulo externo = soma dos dois internos não adjacentes.

Com $c$ como maior lado:

c<a+b

Isósceles → ângulos da base iguais.

Pitágoras, somente no retângulo:

a^2+b^2=c^2

Semelhança, Tales e escala

Razão linear $k$ :

L\to k, \qquad A\to k^2, \qquad V\to k^3.

Tales exige paralelismo e correspondência correta:

\frac ab=\frac cd.

Escala $1:n$ :

comprimento → $n$ ;
área → $n^2$ ;
volume → $n^3$ .

Áreas

Figura	Área
quadrado	$l^2$
retângulo	$ab$
paralelogramo	$bh$
triângulo	$\dfrac{bh}{2}$
trapézio	$\dfrac{(B+b)h}{2}$
losango	$\dfrac{Dd}{2}$

Altura = distância perpendicular à base.

Figura composta:

some partes sem sobreposição; ou
área maior − recortes.

Círculo

d=2r

C=2\pi r

A=\pi r^2

Arco:

L=\frac{\theta}{360^\circ}2\pi r

Setor:

A_s=\frac{\theta}{360^\circ}\pi r^2

Coroa:

A=\pi(R^2-r^2)

Volumes

Sólido	Volume
prisma	$A_bh$
paralelepípedo	$abc$
cubo	$l^3$
cilindro	$\pi r^2h$
pirâmide	$\dfrac{A_bh}{3}$
cone	$\dfrac{\pi r^2h}{3}$

Mesma base + mesma altura:

V_{\text{cone}}=\frac13V_{\text{cilindro}}

Caixa sem tampa → conte base + faces laterais, não a tampa.

Conversões

1\text{ m}^2=10\,000\text{ cm}^2

1\text{ m}^3=1\,000\,000\text{ cm}^3=1000\text{ L}

1\text{ L}=1000\text{ cm}^3

comprimento: fator linear;
área: fator ao quadrado;
volume: fator ao cubo.

Pegadinhas

desenho fora de escala não prova igualdade;
Pitágoras exige ângulo reto;
Tales exige paralelismo;
altura não é lado inclinado;
raio ≠ diâmetro;
perímetro ≠ área;
circunferência ≠ círculo;
escala linear ≠ escala de área/volume;
pirâmide/cone → fator $1/3$ ;
unidade quadrada/cúbica não usa conversão linear;
preserve $\pi$ se não houver aproximação indicada.

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