Problemas aritméticos

Modelagem e resolução de problemas com razões, proporções, porcentagens, médias, equações, taxas, misturas, juros, sequências e unidades.

Problemas aritméticos

Fluxo

O que foi dado?
O que se pede?
Quais são as unidades?
Qual relação permanece constante?
Qual equação/taxa/fator representa o texto?
O resultado faz sentido?

Proporcionalidade

Situação	Modelo	Regra
direta	$y=kx$	mesmo fator
inversa	$xy=k$	fator recíproco
produção idêntica	$P=rnt$	taxa × agentes × tempo

Regra de três não cria proporcionalidade: ela só organiza uma relação já justificada.

Divisão proporcional

Direta em $a:b:c$ :

x=T\frac{a}{a+b+c}.

Inversa a $a$ e $b$ : use pesos $1/a$ e $1/b$ .

Percentuais

Operação	Fator
aumento de $p\%$	$1+p$
desconto de $p\%$	$1-p$

Nas fórmulas, $p$ está em forma decimal.

Variações sucessivas:

V_f=V_0f_1f_2\cdots

+20% e −20% → $1,2\cdot0,8=0,96$ → −4%.
Para voltar ao original, divida pelo fator.
40% → 50% = +10 p.p. e +25% relativo.

Médias

\bar x=\frac{\sum x_i}{n}

\bar x_p=\frac{\sum w_ix_i}{\sum w_i}

média conjunta → tamanho dos grupos = pesos;
velocidade média → $d_{total}/t_{total}$ ;
distâncias iguais:

v_m=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}.

Equações

defina a incógnita com unidade;
traduza frase por frase;
resolva;
teste no texto.

Soma $S$ e diferença $D$ :

\text{maior}=\frac{S+D}{2}, \qquad \text{menor}=\frac{S-D}{2}.

Número de dois algarismos:

10x+y; \qquad \text{invertido}=10y+x.

Idades: todos avançam o mesmo intervalo de tempo.

Taxas

\text{quantidade}=\text{taxa}\cdot\text{tempo}

Trabalho

Quem faz em $t$ dias → taxa $1/t$ .

Juntos:

r_T=r_1+r_2+\cdots

Vazão

Q=\frac Vt

entradas somam;
saídas subtraem.

Movimento

d=vt

encontro em sentidos opostos → soma das velocidades;
perseguição no mesmo sentido → diferença.

Misturas

Quantidade da substância:

S=cV

Duas soluções:

c_f=\frac{c_1V_1+c_2V_2}{V_1+V_2}

água adicionada → soluto constante;
soluto puro → numerador e total aumentam;
preços/concentrações com quantidades diferentes → média ponderada.

Frações, ciclos e restos

“fração de” → multiplique;
fração do restante → nova base;
MMC → primeira coincidência de ciclos;
MDC → maior agrupamento igual sem sobra;
$n=dq+r$ , com $0\le r<d$ .

Unidades

Relação	Valor
hora	60 min
km	1000 m
kg	1000 g
L	1000 mL
m/s	3,6 km/h

km/h → m/s: divida por 3,6.
2 h 15 min = 2,25 h, não 2,15 h.

Padrões

Teste nesta ordem:

diferenças;
razões;
alternância;
posição;
recorrência dada.

Não force PA/PG sem evidência.

Pegadinhas

percentual depende da base;
percentuais sucessivos não se somam automaticamente;
média das médias exige pesos;
mais trabalhadores só implica menos tempo sob produtividade comparável;
trabalho conjunto soma taxas, não tempos;
entrada e saída exigem vazão líquida;
misturas conservam a substância relevante;
unidades incompatíveis invalidam a conta;
solução algébrica fora do contexto deve ser descartada.

Conferência

Respondi exatamente o que foi pedido?
As unidades são compatíveis?
Usei a base percentual correta?
A relação direta/inversa foi justificada?
O resultado tem sinal e ordem de grandeza plausíveis?
A solução satisfaz as relações originais?

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