Problemas matriciais

A pergunta decide a operação. Rotule o que representam linhas, colunas, entradas e unidades. Depois identifique se há apenas um quadro com padrão/condições ou se o enunciado pede uma operação matricial. Uma matriz de ordem $m\times n$ tem $m$ linhas e $n$ colunas; $a_{ij}$ fica na linha $i$ , coluna $j$ .

1. Entradas dadas por índice ou por restrições

Forma de fornecer o quadro	Decisão rápida
$a_{ij}=f(i,j)$	substitua linha em $i$ e coluna em $j$ ; confira os limites $1\le i\le m$ , $1\le j\le n$
regra por casos	antes de calcular, escolha o ramo $i<j$ , $i=j$ ou $i>j$ ; em matriz retangular, nem toda linha tem posição na diagonal $i=j$
contar entradas com certa propriedade	conte pares $(i,j)$ que a satisfazem, linha por linha ou coluna por coluna; limite a contagem aos índices existentes
somas de linhas e colunas, valores distintos	use todas as somas e a condição de que os valores são distintos simultaneamente; não fixe uma posição por uma soma isolada
completar padrão	confronte linhas, colunas e, se houver motivo, diagonais; confirme a mesma regra em mais de uma posição

A diagonal principal tem índices $i=j$ em matrizes quadradas. Em quadros retangulares, a condição $i=j$ só alcança as posições existentes. A disposição visual, sozinha, não determina uma regra única para padrões.

2. Escolha o mecanismo pela forma da resposta

Operação	Quando existe	Como interpretar
igualdade $A=B$	mesma ordem e entradas correspondentes iguais	mesmo número total de elementos não basta
soma/subtração $A\pm B$	mesma ordem	posição a posição; variação é novo menos antigo
escalar $kA$	qualquer ordem	um número $k$ multiplica todas as entradas; aumento de 10% dá $1{,}10A$ , não $0{,}10A$
transposta $A^T$	sempre	troca eixos: $(A^T)_{ij}=a_{ji}$ e $m\times n\to n\times m$
produto $AB$	$A_{m\times n}$ e $B_{n\times p}$	resultado $m\times p$ ; cada entrada combina linha de $A$ com coluna de $B$

No produto, a entrada $(i,j)$ é $\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$ : multiplique pares da linha pela coluna e some. Não é produto posição a posição. Mesmo quando $AB$ existe, $BA$ pode não existir; quando ambos existem, em geral $AB\ne BA$ .

Uma matriz de quantidades por setor $Q_{m\times n}$ vezes um vetor coluna de preços $p_{n\times1}$ (uma matriz com uma coluna) fornece $m$ totais, um por setor. Confira a unidade: quantidade $\times$ preço por unidade $=$ valor. Em etapas sucessivas aplicadas a um vetor, $ABx=A(Bx)$ : o fator à direita age primeiro.

3. Casos curtos e conferência

A identidade $I_n$ tem 1 na diagonal principal e 0 fora dela. Para $A_{m\times n}$ , $I_mA=A$ e $AI_n=A$ : a ordem da identidade depende do lado. A potência $A^2=AA$ requer matriz quadrada.

Antes de responder: li $a_{23}$ como segunda linha, terceira coluna? Escolhi o ramo correto da definição? Usei todas as restrições de linhas, colunas e elementos? Conferi a ordem da operação e a unidade do resultado? Determinante, inversa e escalonamento não integram este mapa de decisões da aula.